Question

已知双曲线X^2/25-Y^2/24=1上一点M到右准线的距离为10，F2是右焦点，N是MF2的中点，O为坐标原点则|ON|＝？

Answer 1

利用双曲线的第二定义:点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比为常数e=c/a时,点的轨迹是双曲线,定点为焦点,定直线为准线.
该题中右准线x=25/7,M在左支还是右支不明,应分情况讨论.
若M在右支,则M到直线x=25/7距离为10,此时|MF1|>|MF2|,
由第二定义,则|MF2|/10=e=7/5,
可求得|MF2|=14,
根据双曲线第一定义可知：|MF1|-|MF2|=2a=10, |MF1|=24.
你画个图出来观察一下，ON是△MF1F2的中位线，
所以|ON|＝1/2|MF1|=12.

若M在左支,则M到直线x=25/7距离为10, 此时|MF1|<|MF2|,
由第二定义,则|MF2|/10=e=7/5,
可求得|MF2|=14,
根据双曲线第一定义可知：|MF2|-|MF1|=2a=10, |MF1|=4.
你画个图出来观察一下，ON是△MF1F2的中位线，
所以|ON|＝1/2|MF1|=2.

综上可知：|MF1|=12或2.