Question

已知在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°。当点P为线段AC的中点，

过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,证△PME∽△PNF，得出PN=根号3PM.当PC=根号2PA,点M,N分别在线段AB,BC或其延长线上请写出线段PN,PM之间的数量关系

Answer 1

解：如图2，如图3中都有结论：PN＝PM

选如图2： 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F

∴四边形BFPE是矩形 ∴∠EPF＝90º，

∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º

可知∠EPM＝∠FPN ∴△PFN∽△PEM

∴＝

又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º

∴PF＝PC，PE＝PA

∴＝＝

∵PC＝PA ∴＝ 即：PN＝PM

Answer 2

(1)可利用在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半∠A=30° (2)当∠A≠30°时结论依然成立，过点P作PG⊥BC交BC于点G 可知PE=CG

追问

证明过程能否写出