Question

求教广义积分的收敛性的两道题

ln(1+x)/x^n从0到+∞的积分的敛散性
lnx·sinx/x从0到+∞的积分的条件敛散性
谢谢啦~

Answer 1

当x趋于0时，ln(1+x)/x^n等价于x/x^n=1/x^(n-1)，因此n-1<1，即n<2时收敛。又当n>1时，取1<a<n，由于ln(1+x)/x^(n-a)随着x趋于无穷是趋于0的，因此当x充分大时有ln(1+x)/x^(n-a)<1，故ln(1+x)/x^n=ln(1+x)/x^(n-a)*1/x^a<1/x^a，故当n>1时积分收敛。当n<=1时，ln(1+x)/x^n>1/x，发散。综上，当1<n<2时积分收敛。
当x趋于0时，被积函数等价于lnx，而lnx在(0 1)上积分收敛，注意此时被积函数是负函数，因此是绝对收敛的。sinx的部分积分有界，lnx/x在【e 正无穷)上递减趋于0，Dirichlet判别法知积分收敛。|lnxsinx/x|>=lnx sin^2x/x=lnx/2x(1-cos2x)=lnx/2x-lnx cos2x/2x，类似课征lnx cos2x/2x的无穷积分收敛，但lnx/2x的积分发散，因此lnx sinx/x不绝对收敛。综上是条件收敛。