Question

有两个质点，其质量分别为m1

有两个质点，其质量分别为m1和m2，它 有两个质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符合万有引力定律，开始时，两质点 距离为L，它们处于静止状态，试求当它们的距离为L/2时，两质点的速率各为多少

Answer 1

将两个质点作为系统，系统的万有引力做正功，引力势能减少，动能增加，减少的引力势能等于增加的动能。
减少的引力势能为　∆Ep＝（－G*m1*m2 / L）－[ －G*m1*m2 / (L / 2) ]＝G*m1*m2 / L
设所求的m1的速率是V1，m2的速率是V2
则有　∆Ep＝（m1*V1^2 / 2）＋（m2*V2^2 / 2）
即　G*m1*m2 / L＝（m1*V1^2 / 2）＋（m2*V2^2 / 2）...............方程1
由于系统不受外力（只有相互作用的万有引力），所以系统动量守恒。
得　0＝m1*V1－m2*V2　（以m1的速度方向为正）
即　m1*V1＝m2*V2　................................................................方程2
由方程1和2联立得　V1＝根号 { 2G*m2^2 / [ L*(m1＋m2) ] }
V2＝根号 { 2G*m1^2 / [ L*(m1＋m2) ] }

注：引力势能是取无穷远时为0，势能是　Ep＝－G*m1*m2 / r ，r 是它们之间的距离。

Answer 2

W=定积分从L到L/2 （Gm1m2/R^2）/dR
W=2*mv^2/2