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比较清晰的理解方式是利用奇异值分解A=USV^T，其中U和V是正交阵，S是非负的对角阵（并且可以要求S的对角元递减）。
A^TAx=A^Tb <=> VS^TSV^Tx=VS^TU^Tb <=> S^TSV^Tx=S^TU^Tb
显然这个方程总是有解的，
如果S的恰好前r个对角元非零（以下总按这个假设），并且要求x的r+1,r+2,...,n的分量为0的话解还是唯一的。
至于几何意义，U的前r列构成A的列张成的空间span{A}的一组标准正交基，U^Tb相当于求出了b在span{A}上的正投影在U下的坐标，所以事实上就是把方程Ax=b正投影到span{A}上在求解，得到的解满足残向量b-Ax和span{A}正交，并且残量||b-Ax||_2是最小的。
A^TAx=A^Tb <=> VS^TSV^Tx=VS^TU^Tb <=> S^TSV^Tx=S^TU^Tb
显然这个方程总是有解的，
如果S的恰好前r个对角元非零（以下总按这个假设），并且要求x的r+1,r+2,...,n的分量为0的话解还是唯一的。
至于几何意义，U的前r列构成A的列张成的空间span{A}的一组标准正交基，U^Tb相当于求出了b在span{A}上的正投影在U下的坐标，所以事实上就是把方程Ax=b正投影到span{A}上在求解，得到的解满足残向量b-Ax和span{A}正交，并且残量||b-Ax||_2是最小的。
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