Question

两道初中的数学问题 麻烦好心的同学帮帮忙~

一道是：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ，对角线AC⊥BD与点O ，AE⊥BC ，DF⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD = 4 ，BC = 8，AE + EF 等于多少？
我看的是教材全解，上面的解题步骤说的是：EF = AD = 4 ，再求AE ，方法是过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点G ，则BDG为等腰直角三角形，BG = 12 （到这步时我还能理解），AE = DF = 1/2 BG = 6（关键是这步不明白） ，AE + EF = 10 。
请问这里说的AE = DF = 1/2BG = 6 是怎么得出来的？ 我该怎样想？ 如果可以麻烦帮我详细的讲讲 ，先谢谢喽！

另外一个问题，请教一个公式。一个直三角形的一个直角边的度数是30度，那么这个角的对角的2倍就等于这个直角三角形的直角对边的长， 请问这叫什么公式？
再次感谢！ 有加分的~

Answer 1

详细答案（恰到好处的答案）：
第一问详细思路：平行四边形ACGD得AC=DG，等腰梯形的对角线相等，得AC=DB，所以DG=DB，所以三角形DBG是等腰三角形，又由DF垂直BG得，DF是BG上的中线（等腰三角形底边上的高线同时是底边上的中线）；由所作DG平行AC得角BDG=角BOG=90度，所以三角形BDG是一个直角三角形，再运用“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”，就可得DF=1/2BG。
第二个问题（没这样的说法）：类似的倒有：直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半；直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。这两个互为逆定理。
另外，如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角（九年级）。

追问

谢谢哈，请问你说的角BDG=角BOG=90度 ，第二个角是不是BOC？因为DG平行AC，所以两个角相等？还有这两个角可以为同位角吗？再次感谢！

Answer 2

∵BDG为等腰直角三角形
又∵DF⊥BG
∴AE = DF = 1/2 BG = 6（等腰直角三角形的斜边上的中线是斜边长的一半）

请问一下度数和长度画等号吗？

Answer 3

由DF⊥BC 三角形BDG为等腰直角三角形，D是三角形的直角边（AC∥DG 角BOC为直角 两直线平行，同位角相等，得DF是等腰直角三角形斜边的中线（DF为等腰三角形底边上的高线 三线合一）即有DF =BF= 1/2 BG =6（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）又AD∥BC AE⊥BC ，DF⊥BC 所以AE=DF（平行线间的距离相等） AE=6 EF=4 ，AE + EF = 10
直三角形30度所对的边等于斜边的一半

Answer 4

只回答下面的了，上面的太多了，这是一个定理如图上的内容所示

Answer 5

第一个题的AE = DF = 1/2 BG = 6是运用了直角三角形的中线等于斜边的一半。因为我们可以证明三角形BDG是等腰三角形，并且有DF⊥BC ，在运用三线合一的性质可以证明DF是底边BG的中线。
第二个问题，你是不是想说的是在直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半的逆定理，我有点不明白

Answer 6

1直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
2.三角形性质公式