Question

关于级数的收敛和求和

Answer 1

1、x＝1/e时，通项＝((1+1/n)^n/e)^n=【e^(nln(1+1/n)-1)】^n=[e^(-1/2n+小o(1/n))]^n=e^(-1/2+小o(1))，极限是e^(-1/2)，通项不趋于0，因此发散。x＝－1/e时类似发散。
2、e^x(x位于0 2pi之间)做Fourier级数展式：e^x=(e^(2pi)-1)/pi*[0.5+级数(k＝1到无穷)(coskx-ksinkx)/(k^2+1)]，由Fourier级数的收敛性定理知，在x＝0处级数收敛于(e^0+e^2pi)/2，即[1+e^(2pi)]/2=[e^(2pi)-1]/pi*[0.5+所求级数的和]，由此可以解出和。

追问

貌似第二个问题e^x=(e^(2pi)-1)/pi*[0.5+级数(k＝1到无穷)(coskx-ksinkx)/(k^2+1)]，级数里你少写了（-1）^k,因此应该取x=+-pi