Question

分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30度，EF⊥AB垂足为E，连接DF

求证：四边形ADEF是平行四边形

Answer 1

因为△ADC为等边三角形，于是∠CAD=60°，AD=AC
于是∠DAF=∠CAD+∠BAC=60+30=90°，EF=AC=AD
∠AFE=∠DAF=90°，内错角相等
于是AD//EF，又因为EF=AD
于是四边形ADFE是平行四边形

Answer 2

证明：在Rt△ABC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
等边△ABE中，∠ABE=60°，且AB=BE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EBF，
∴AC=EF，
又在等边△ACD中，∠DAC=60°，AD=AC，
又∵∠BAC=30°，
∴∠DAF=90°，
∴AD∥EF，
又∵AC=EF，∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．

Answer 3

证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF=30°

∴AE=2AF，且AB=2AF，

∴AF=CB，

而∠ACB=∠AFE=90°，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

，

∴△AFE≌△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，

而△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°

∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，

而EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．