Question

在梯形ABCD中，AD//BC,角C=90度，E为CD的中点，EF//AB交于点F,求证BF=AD+CF

当AD=1，BC=7，且BE平分角ABC时，求EF的长。

Answer 1

证明：
延长FE交AD延长线于G
∵AD//BC，EF//AB
∴四边形ABFG是平行四边形
∴AG=BF，AB=GF
∵∠GDE=∠C=90º，∠DEG=∠CEF，DE=CE
∴⊿DEG≌⊿CEF（ASA）
∴DG=CF，EG=EF
∴BF=AG=AD+DG=AD+CF
延长BE交AD延长线于H
∵AD//BC
∴∠H=∠EBC，∠HDE=∠C
又∵DE=CE
∴⊿DEH≌⊿CEB（AAS）
∴DH=BC
∵∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠H
∴AB=AH=AD+DH=AD+BC=1+7=8
∴EF=½GF=½AB=4

Answer 2

过点E做EG平行于AD(G在AB上) 过A做AH平行于DC（H在EG上）很明显四边形GEFB和四边形ADEH是平行四边形 三角形AHG全等于三角形ECF 就有 AD=EH EG=BF CF=GH 就有
BF=EG=GH+EH=AD+CF

Answer 3

证明：
延长FE交AD延长线于G
∵AD//BC，EF//AB
∴四边形ABFG是平行四边形
∴AG=BF，AB=GF
∵∠GDE=∠C=90º，∠DEG=∠CEF，DE=CE
∴⊿DEG≌⊿CEF（ASA）
∴DG=CF，EG=EF
∴BF=AG=AD+DG=AD+CF
延长BE交AD延长线于H
∵AD//BC
∴∠H=∠EBC，∠HDE=∠C
又∵DE=CE
∴⊿DEH≌⊿CEB（AAS）
∴DH=BC
∵∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠H
∴AB=AH=AD+DH=AD+BC=1+7=8
∴EF=½GF=½AB=4

Answer 4

∵AB∥EF，
∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，
又∵∠2+∠BEF=∠3，
∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，
∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，∴BF=EF=4．

Answer 5

延长FE，延长AD，相交于G点，
ABFG为平行四边形
BF=AG=AD+DG=AD+FC