Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-A1C-A的大小为

详细点。。

Answer 1

连结A1B、A1D，在平面A1BC上作BE⊥A1C，垂足E，连结DE，BD，AC，AC和BD交于O，连EO，

∵BC⊥平面ABB1A1，

A1B∈平面ABB1A1，

∴BC⊥A1B，

△A1BC是RT△，

设棱长为1，A1B=√2，A1C=√3，

BE*A1C/2=A1B*BC/2=△A1BC，

BE=√6/3，

同理△A1DC也是RT△，

显然，RT△A1BC≌RT△A1DC，

则DE⊥A1C，

A1C⊥平面BDE，

EO∈平面BDE

A1C⊥EO，

则〈BEO是二面角B-A1C-A的平面角，

DE=BE=√6/3，

BD=√2，

BO=√2/2，

在△BEO中，

sin<OEB=OB/BE=（√2/2）/（√6/3）=√3/2，

〈OEB=60°，

∴二面角B-A1C-A的大小为60度。

追问

为什么<BED是二面角B-A1C-A的平面角？

追答

∵A1C⊥OE，A1C⊥BE。根据二面角定义。

追问

和A有什么关系啊？还是不太懂。

追答

A所在平面是ACA1，OE在平面ACA1上，BE在平面BA1C上，OE、BE均垂直二面角的公共棱A1C，所以〈BEO是二面角B-A1C-A的平面角。注意不是〈BED，是〈BEO。