Question

高数微分到底是什么意思啊？

Answer 1

如果你理解极限的定义就容易理解点。其实就是将一个变量取它的极限，使之减少误差。

Answer 2

先说求导，主要是从微观角度出发，研究数字变化规律。
比如对一个函数
一次求导表示函数本身数字变化规律，正负表示数字增减，其大小表示函数数字变化大小的速度。
二次求导表示一次求导结果数字变化规律，正负表示数字增减，其大小表示函数数字变化大小的速度。 反应到原函数，表示增减性变化规律。
而微分dx，dy其实就是用一个想象中的具体的很小很小的量，就像是∞或者虚数i一样，利用微分可以直接将其当成具体数字进行运算。

Answer 3

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
当自变量为固定值
　　需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。 　　以y=x^2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，我们可以假设在y=x^2上有另一点(3+δx,9+δy)，画一条过这两点的直线，该直线的斜率为δy/δx。我们知道，这两点之间的距离越短，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当δx与δy的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。 　　当x=3+δx时，y=9+δy，也就是说， 　　(3+δx)^2=9+δy 　　9+6δx+(δx)^2=9+δy （展开） 　　6δx+(δx)^2=δy （两边减去9） 　　δy/δx=6+δx （两边除以δx） 　　∵limδx→0 m=δy/δx 　　∴limδx→0 m=6+δx=6 　　我们得出，y=x^2在点(3,9)处的斜率为6。
当自变量为任意值
　　在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率，如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差，我们现在仍以y=x^2为例，计算图象上任意一点的斜率m。 　　假设该点为(x,y)，做对照的另一点为(x+δx,y+δy)，我们按上面的方法再计算一遍： 　　(x+δx)^2=y+δy 　　x^2+2xδx+(δx)^2=y+δy （展开） 　　2xδx+(δx)^2=δy （y=x^2，两边减去y） 　　δy/δx=2x+δx （两边除以δx） 　　∵limδx→0 m=δy/δx 　　∴limδx→0 m=2x+δx=2x 　　我们得出，y=x^2在点(x,y)处的斜率为2x。 　　limδx→0 δy/δx=m被记作dy/dx=m。
定义
　　 微分
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。 　　通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 　　当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。 　　微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线 微分
性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
推导
　　设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不 依赖于△x的常数， 是△x的高阶无穷小，则称函数 在点x0可微的。 叫做函数 在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy= 。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差 是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为： 还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示
几何意义
　　设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 几何意义
线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
　　同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。
单项式
　　当函数为单项式y=ax^n（a和n为常数）的形式时，有基本公式： 　　dy/dx=anx^(n-1)或d/dx(ax^n)=anx^(n-1) 　　如d/dx(x^2)=2x，d/dx(3x^5)=15x^4。 　　当a为常数时，d/dx(ax)=a且d/dx(a)=0。 　　注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。
多项式
　　当函数为几个ax^n形式的单项式的和或差时，这个函数的微分只需在原函数的微分上进行加减即可。 　　以函数y=ax^m+bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。 　　可以得出du/dx=amx^(m-1)，dv/dx=bnx^(n-1)。 　　∵y=u+v 　　∴δy=δu+δv 　　∴δy/δx=δu/δx+δx/δx 　　∴dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1) 　　∴d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1) 　　同理可以得出d/dx(ax^m-bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1) 　　最后得出公式： 　　d/dx(ax^m±bx^n)=amx^(m-1)±bnx^(n-1) 　　有了这两个公式，我们可以微分大部分常见的初等函数。 　　注意：f'(x)是函数f(x)的微分。
　　当需要微分(x+1)^2时，我们可以将其展开成为x^2+2x+1后将其微分，得到2x+2。然而，当我们遇到类似(3x+1)^5这样的式子时，将其展开将浪费许多时间和精力，这时我们可以使用连锁律来解决这个问题。 　　假设y=f(x)且z=f(y)： 　　∵δy/δx=(δy/δz)×(δz/δx) 　　∴limδx→0 δy/δx=(limδz→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 　　又∵limδx→0,limδz→0 　　∴limδx→0 δy/δx=(limδx→0 δy/δz)×(limδx→0 δz/δx) 　　得出公式： 　　dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) 　　以y=(3x+1)^5为例，使用微分法微分： 　　假设z=3x+1，y=z^5。 　　d/dx[(3x+1)^5]=dy/dx 　　=(dy/dz)×(dz/dx) 　　=[d/dz(z^5)]×[d/dx(3x+1)] 　　=(5z^4)(3) 　　=15z^4 　　=15(3x+1)^4 （不需要展开） 　　这样我们就可以轻松得出(3x+1)^5的微分。
连锁律的应用1
　　连锁律一般被用来求y^n的微分（y=f(x)且n为常数），我们可以用连锁律获得更简单的公式。 　　以(ax+b)^n为例，假设y=ax+b： 　　d/dx(y^n) 　　=d/dy(y^n)×dy/dx （连锁律） 　　=[ny^(n-1)](a) 　　=any^(n-1) 　　=an(ax+b)^(n-1) 　　可以得出： 　　d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) 　　d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1)
连锁律的应用2
　　在日常生活中，n除经常取整数外，还经常取1/2，即y=√z。 　　同样以y=√z（z是自变量为x的函数）为例，使用刚得到的公式进行微分： 　　dy/dx 　　=(dy/dz)×(dz/dx) （连锁律） 　　=[0.5z^(-0.5)](dz/dx) 　　得出另一个公式： 　　d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y) 　　以上两个公式可以在大多数情况下代替连锁律使用，它们比连锁律更容易使用。
　　当我们需要求出(x+1)(x-1)的微分时，我们可以将其展开成为x^2-1，然后进行微分，得出2x。但是当我们遇到(x+1)(x-1)^7这种式子的时候，将其展开极为繁琐，而连锁律也不能直接使用，这时我们就需要乘法律拆分这个式子，然后才能将其微分。 　　假设u和v都是自变量为x的函数： 　　uv=u(v) 　　uv+δ(uv)=(u+δu)(v+δv) 　　uv+δ(uv)=uv+uδv+vδu+δuδv （展开） 　　δ(uv)=uδv+vδu+δuδv （两边减去uv） 　　∵limδx→0 δu=0且limδx→0 δv=0 　　∴limδx→0 δuδv=0 　　∴limδx→0 δ(uv)=limδx→0 (uδv)+limδx→0 (vδu) 　　∴duv/dx=u(dv/dx)+v(du/dx) 　　最后得出乘法律： 　　d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) 　　我们用乘法律微分(x+1)(x-1)^7： 　　d/dx[(x+1)(x-1)^7] 　　=(x+1)d/dx[(x-1)^7]+[(x-1)^7]d/dx(x+1) （乘法律） 　　=(x+1)[7(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] （连锁律） 　　=(7x+7)[(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] 　　=(7x+7+x-1)[(x-1)^6] 　　=(8x+6)[(x-1)^6] 　　=2(4x+3)[(x-1)^6] 　　注意：在得到微分结果后，必须将其因式分解。
乘法律的应用1
　　在微分(x+1)(x-1)^7时，我们需要进行繁琐的因式分解，我们可以总结出一个公式，以解决类似的问题。 　　假设a、b、m、n、p和q都是常数： 　　d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b] 　　=[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]+[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a] 　　=[(mx+n)^a][b(px+q)^(b-1)]+[(px+q)^b][a(mx+n)^(a-1)] 　　=b[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)+a[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^b] 　　=b(mx+n)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+a(px+q)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　=(bmx+bn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+(apx+aq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　=(bmx+apx+bn+aq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　=[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　得出公式： 　　d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　这个公式可以用来微分形如[(mx+n)^a][(px+q)^b]的式子。
乘法律的应用2
　　有时我们会接触u√v类型的式子，我们试着因式分解它： 　　d/dx(u√v) 　　=u(d/dx√v)+√v[d/dx(u)] （乘法律） 　　=u(dv/dx)/(2√v)+(√v)(du/dx) 　　=(u/2)(dv/dx)/(√v)+v(du/dx)/(√v) 　　=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v) 　　得出公式： 　　d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
乘法律的应用3
　　假设y是自变量为x的函数且a为常数，我们来尝试微分ay。 　　=d/dx(ay) 　　=a(dy/dx)+y[d/dx(a)] （乘法律） 　　=a(dy/dx) （d/dx(a)=0） 　　从结果得出公式： 　　d/dx(ay)=a(dy/dx)
　　我们需要微分分式(x^2+x+1)/x时，我们可以将其化为x+1+1/x，微分后得到1-1/x^2。但这种方法对分母为多项式的分式是无效的，所以除法律被用来解决大部分分式的微分问题。我们可以用乘法律，假设其中一个乘式是分子为1的分式，以此推导出除法律。 　　假设u和v都是自变量为x的函数： 　　d/dx(u/v) 　　=d/dx[u(1/v)] 　　=u[d/dx(1/v)]+(1/v)(du/dx) （乘法律） 　　=u(dv/dx)[d/dv(1/v)]+(du/dx)/v （连锁律） 　　=-u(dv/dx)(1/v^2)+(du/dx)/v 　　=-u(dv/dx)/(v^2)+v(du/dx)/(v^2) 　　=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) 　　这样我们得出除法律： 　　d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)
除法律的应用1
　　除法律的应用的常用格式与乘法律相同，首先是[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]类型的微分： 　　d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]} 　　={[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a]-[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]}/(px+q)^(2b) （除法律） 　　={a[(px+q)^b][(mx+n)^(a-1)]-b[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)]}/(px+q)^(2b) 　　={(apx+aq)[(px+q)^(b-1)][(mx+n)^(a-1)]-(bmx+bn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]}/(px+q)^(2b) 　　=(apx+aq-bmx-bn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]/(px+q)^(2b) 　　=[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1) 　　得出公式： 　　d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}=[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)
除法律的应用2
　　我们用除法律微分形如u/√v的式子： 　　d/dx(u/√v) 　　=[(√v)(du/dx)-(u)d/dx(√v)]/v （除法律） 　　=[(√v)(du/dx)-(u/2)(dv/dx)/(√v)]/v 　　=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) 　　得出公式： 　　d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)
除法律的应用3
　　当分式的分子为常数时，我们有更快的方法微分它： 　　d/dx(a/y) 　　=[(y)d/dx(a)-a(dy/dx)]/(y^2) （连锁律） 　　=a(dy/dx)/(y^2) （d/dx(a)=0） 　　得出公式： 　　d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)
基本法则
　　dy/dx=d/dx[f(x)]=f'(x) 　　d/dx(ax^n)=anx^(n-1) 　　d/dx(ax)=a 　　d/dx(a)=0 　　d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)
连锁律
　　dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) 　　d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx) 　　d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1) 　　d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)
乘法律
　　d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) 　　d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(ap+bm)x+(aq+bn)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)] 　　d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v) 　　d/dx(ay)=a(dy/dx)
除法律
　　d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) 　　d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}=[(ap-bm)x+(aq-bn)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1) 　　d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v) 　　d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)
　　d(x^3/3)=x^2dx 　　 基本公式
d(-1/x)=1/x^2dx 　　d(lnx)=1/xdx 　　d(-cosx)=sinxdx 　　d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx