Question

设f（x）是连续函数，且f（x）=x+2∫（0→1）f（t）dt.则f（x）=

Answer 1

设A=∫f(t)dt,积分上限是1，下限是0
则f(x)=x+A
A=f(x)-x
所以
f(x)=x+2∫f(t)dt
=x+2∫(t+A)dt
=x+2*(t^2/2+At)(1,0)
=x+2*(1/2+A)
=x+1+2A
=x+1+2(f(x)-x)
=x+1+2f(x)-2x
=2f(x)-x+1
所以
f(x)=x-1

Answer 2

设2∫(0→1)f(t)dt=C，则f(x)=x+C
所以C=2∫(0→1)f(t)dt=2∫(0→1)(t+C)dt=2[1/2+C]=1+2C，即C=-1,
所以f(x)=x-1