Question

证明：定义在对称区间（-k,k）上任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

证明过程如下, 但是我不明白为什么要这样证明？帮忙解释下，
先谢谢了。

证明：设f(x)为定义在（-k，k）上的任意一个函数，令
h(x) =[f(x)+f(-x)]/2 '这里为什么要这样做,依据什么原理？
h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以 h(x)为偶函数。
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数。
而 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

Answer 1

这道题其实是由结论倒着推的。由任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，设f(x)=h(x)+g(x)，其中h(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则在（-k，k）上，f(-x)=h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x)，[此为方程1]
又因为f(x)=h(x)+g(x)，[此为方程2]，由这两个方程即可求得，
h(x) =[f(x)+f(-x)]/2
g(x) =[f(x)-f(-x)]/2

Answer 2

这题很难，能看懂，但说不上来为什么要这样做，这道题的思路发散性太强，要我做我也想不出来