Question

一道椭圆数学题，求高手~~~~~~~~

中心在原点，焦点在x轴上椭圆，直线l：根号5x+2y-根号5=0交椭圆于A、B。L交x轴于M点，向量AM=2向量MB。求椭圆C长轴长取值范围。
有没有简便一点，不是太暴利的方法......

Answer 1

条件比较少，几何意义用上也是要联立方程的.....

Answer 2

1
√5x+2y-√5=0
y=0,x=1
M(1,0)
x=0,y=√5/2
N(0,√5/2)
直线l 交y轴于N(0,√5/2) b<=√5/2 b^2<=5/4
y=-√5/4时，x=3/2
N0(3/2, -√5/4)
NM:NN0=1:2
1
b=√5/2时，
x1+x2=Nx+N0x=3/2
x^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0
b^2x^2+a^2[(√5/2)(1-x)]^2-a^2b^2=0
b^2x^2+a^2(5/4)(x-1)^2-a^2b^2=0
(b^2+5a^2/4)x^2+(-5/2)a^2x+(5/2)a^2-a^2b^2=0
x1+x2=(5/2)a^2/(b^2+5a^2/4)
(5/2)a^2/(b^2+5a^2/4)=3/2
5a^2=3b^2+15a^2/4
5a^2/4=3b^2
5a^2/4=3*(5/4)
a^2/4=3/4
a^2=3
a=√3

2
b<√5/2时 x1<1<x2
x2-1=(1/2)(1-x1)
x2=3/2-x1/2
x1+x2=3/2+x1/2
0<x1<1
3/2<x1+x2<2
3/2<(5/2)a^2/(b^2+5a^2/4) <2
(5/2)a^2/(b^2+5a^2/4)>3/2
5a^2>3(b^2+5a^2/4)
5a^2/4>3b^2>3*5/4
a^2>3
a>√3

3
a>=√3
2a>=2√3
长轴范围[2√3,+∞)

Answer 3

解：(1)直线l的方向向量是(-2,√5)
∴直线l的斜率为-√5/2
又直线经过点(3,-√5)
∴直线方程为√5x+2y-√5=0

(2)设A(xA,yA),B(xB,yB)
xA²/a²+yA²/b²=1.....①
xB²/a²+yB²/b²=1.....②
由①-②：-√5/2=-b²(xA+xB)/a²(yA+yB)....③
将直线l方程代入椭圆方程得
(b²+5/4a²)x²-5/2a²x+5/4a²-a²b²=0....④
判别式Δ>0,由此得
4b²+5a²>5,亦即a²>1-4/5b².....⑤
∴a²>1-4/5a²，a>√5/3
又M点坐标为(1,0),根据定比分点公式有
xA+2xB=3,yA=-2yB
∴③式即√5/2=b²(xB-3)/a²yB
√5/2a²yB=b²(xB-3)
xB=[5/4a²+3b²]/[5/4a²+b²]
=1+2b²/(5/4a²+b²)
=1+2/(5/4t+1)
t=a²/b²，t∈(1,+∞)
∴1<xB<17/9,又易知xB<a,∴1<a<17/9
由此得到长轴a的取值范围为(1,17/9)
希望你能满意。这种没有技巧，扎扎实实的计算吧

Answer 4

用椭圆第二定义