Question

一道初中二次函数题，求高手来解

在平面直角坐标系中抛物线y=-2/3x^2+bx+c经过A（0，-4），B（x1,0),C(x2,0)三点，且X2-X1=5
（1）求b,c的值
（2）在抛物线上求一点D，使四边形BDCE是以BC为对角线的菱形
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由。
如图所示

Answer 1

解：（1）解法一：∵抛物线y=- 23x2+bx+c经过点A（0，-4），
∴c=-4
又由题意可知，x1、x2是方程- 23x2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2= 32b，x1x2=- 32c
由已知得（x2-x1）2=25
又（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2
= 94b2-24
∴ 94b2-24=25
解得b=± 143
当b= 143时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=- 143．
解法二：∵x1、x2是方程- 23x2+bx+c=0的两个根，
即方程2x2-3bx+12=0的两个根．
∴x= 3b±9b2-964，
∴x2-x1= 9b2-962=5，
解得b=± 143
（以下与解法一相同．）

（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y=- 23x2- 143x-4=- 23（x+ 72）2+ 256
∴抛物线的顶点（- 72， 256）即为所求的点D．

（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（-6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与
抛物线y=- 23x2- 143x-4的交点，
∴当x=-3时，y=- 23×（-3）2- 143×（-3）-4=4，
∴在抛物线上存在一点P（-3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上．

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=- 23x2+bx+c经过点A（0，-4），
∴c=-4
又由题意可知，x1、x2是方程- 23x2+bx+c=0的两个根，有韦达定理得：x1+ x2=-b/a =3b/2，<1> x1·x2=c/a=6 <2> 由图像可知，x1< x2<0, 则联立<1><2>得x1= -6, x2=-1, ∴x1+ x2=-b/a =3b/2=-7 所以b=-14/3. ∴b=-14/3, c=-4
(2)设D（x1，y1）则由菱形的性质可得x1=（-1-6）/2=-7/2,因为点D在抛物线上，将x1代入得
y1=25/6, 故D（-7/2,25/6)
(3)假设存在，设P（m,n),则，m=-3，将-3代入抛物线得n=4<25/6(y的最大值），所以符合题意。即P（-3,4),该菱形不是正方形。因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（-3，3），但这一点不在抛物线上． （很简单，可以自己算一下，由正方形的性质倒推）
总结：题目不难，计算要细心《不过我的计算能力很差啊》，如果计算没有问题的话，就OK了！

Answer 3

（1）根据一元二次方程根与系数的关系：X1 +X2=3b/2;X1X2=-3c\2求解
（2）求出BC直线方程，然后A,D关于这条直线对称，并且它在抛物线上就可以求出D点；
（3）H？哪来的？