Question

若F1F2为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足

F1O向量=PM向量，OP向量=k（OF1/|OF1|+OM/|OM|),k>0，（前面括号里均是向量及向量的模）求双曲线离心率。
请写出过程。

Answer 1

∵ F1O→=PM→，OP→=λ(OF1→|OF→1|+OM→|OM→|)，∴四边形F1OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，∵|F1O|=|PM|=c，MN= a2c，∴P点的横坐标为 -(c-a2c)=-b2c，把 x=-b2c代入双曲线 x2a2-y2b2=1得
y=±c4a2-a4c2-4c2+4a2，∴ M(a2c，c4a2-a4c2-4c2+4a2)，∴ |OM|=c4a2-4c2+4a2．
∵四边形F1OMP是菱形，∴|OM|=|F1O|，∴ c4a2-4c2+4a2=c．
整理得e4-5e2+4=0，解得e2=4或e2=1（舍去）．∴e=2，或e=-2（舍去）．