一道数学难题,求解,直角坐标系的题目
图没办法发,只能发题目:在正方形ABCD中,AB=2,BC=根号3,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的X轴、Y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则当OC为最大值...
图没办法发,只能发题目:在正方形ABCD中,AB=2,BC=根号3,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的X轴、Y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则当OC为最大值时,点C的坐标是_____
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1个回答
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解:首先画图,过C做y轴的垂线,垂足为E,
由∠OAB+∠OBA=90°且∠EBC+∠OBA=180°-∠CBA=90°
得∠OAB=∠EBC
又∠AOB=∠BEC=90°,且AB=BC
所以△AOB全等于△BEC
故BE=OA CE=OB
由AB=2,可设A(2sina,0),B(0,2cosa),C(x,y) (其中0<=a<=π/2)
则x=CE=2cosa,y=OB+BE=2sina+2cosa
所以OC^2=x^2+y^2=4(cosa^2+1+sin2a)
=4sin2a+2cos2a+6=2√5sin(2a+β)+6<=6+2√5 (其中tanβ=1/2)
当2a+β=π/2时,OC^2取最大值6+2√5,即OC取最大值1+√5
此时,2a=π/2-β,故tan2a=tan(π/2-β)=cotβ=2
则2tana/(1-tana^2)=2,整理得tana^2+tana-1=0
解得tana=(√5-1)/2或tana=(-√5-1)/2
因为0<=a<=π/2,所以tana=(√5-1)/2
所以sina=(√5-1)/√(10-2√5) cosa=2/√(10-2√5)
所以x=4/√(10-2√5) y=2(√5+1)/√(10-2√5)
即C点坐标为( 4/√(10-2√5) ,2(√5+1)/√(10-2√5) )
算了三遍,确实不能化简了,看着答案不像正确答案,呵呵,不过思路应该没问题,希望对你有帮助。
由∠OAB+∠OBA=90°且∠EBC+∠OBA=180°-∠CBA=90°
得∠OAB=∠EBC
又∠AOB=∠BEC=90°,且AB=BC
所以△AOB全等于△BEC
故BE=OA CE=OB
由AB=2,可设A(2sina,0),B(0,2cosa),C(x,y) (其中0<=a<=π/2)
则x=CE=2cosa,y=OB+BE=2sina+2cosa
所以OC^2=x^2+y^2=4(cosa^2+1+sin2a)
=4sin2a+2cos2a+6=2√5sin(2a+β)+6<=6+2√5 (其中tanβ=1/2)
当2a+β=π/2时,OC^2取最大值6+2√5,即OC取最大值1+√5
此时,2a=π/2-β,故tan2a=tan(π/2-β)=cotβ=2
则2tana/(1-tana^2)=2,整理得tana^2+tana-1=0
解得tana=(√5-1)/2或tana=(-√5-1)/2
因为0<=a<=π/2,所以tana=(√5-1)/2
所以sina=(√5-1)/√(10-2√5) cosa=2/√(10-2√5)
所以x=4/√(10-2√5) y=2(√5+1)/√(10-2√5)
即C点坐标为( 4/√(10-2√5) ,2(√5+1)/√(10-2√5) )
算了三遍,确实不能化简了,看着答案不像正确答案,呵呵,不过思路应该没问题,希望对你有帮助。
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追问
初二的题额- -有点复杂啊
追答
我晕,我看错了,你这个题有问题啊,
在正方形ABCD中,AB=2,BC=根号3,
正方形边长相等的啊!
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