二次函数知识点 越详细越好 3Q
1个回答
展开全部
定义与定义表达式
我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function),称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量(通常为x)和因变量(通常为y)。右边是整式,且自变量的最高次数是2。 注意,“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。未知数只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数的解法
二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标代入也就是说三个方程解三个未知数 如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。 方程二7=a×36+b×6+c 化简 7=36a+6b+c。 方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上边这种是老老实实的解法 。 对(6,7)(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 。 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。 或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10),设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量,y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 二次函数与X轴交点的情况 当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。 当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 当△=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
编辑本段图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。 2画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a) 3与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0) a,b同号,对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴 a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k ) 当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号 当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的 斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于(0,C) 注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时,二次函数图像与x轴有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点 _______ 当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在x<h范围内是减函数,在 x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向 上,函数的值域是y>k 当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymix=k,在x>h范围内事增函数,在 x<h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下 ,函数的值域是y<k 当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
特殊值的形式
7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k ②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k ③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k ④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
8.定义域:R 值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a, 正无穷);②[t,正无穷) 奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。 周期性:无 解析式: ①y=ax^2;+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下; ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a); ⑷Δ=b2-4ac, Δ>0,图象与x轴交于两点: ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0); Δ=0,图象与x轴交于一点: (-b/2a,0); Δ<0,图象与x轴无交点; ②y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0) 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用)。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
编辑本段两图像对称
对于一般式: ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式: ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同。 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反。 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反。 (其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
编辑本段二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k<0)的图象 当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k>0)的图象 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k<0)的图象 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。 3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。 4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣(a绝对值分之根号下△)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标) 当△=0.图象与x轴只有一个交点; 当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。 5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
我们把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function),称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。一般的,形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量(通常为x)和因变量(通常为y)。右边是整式,且自变量的最高次数是2。 注意,“变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。未知数只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数的解法
二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标代入也就是说三个方程解三个未知数 如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。 方程二7=a×36+b×6+c 化简 7=36a+6b+c。 方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上边这种是老老实实的解法 。 对(6,7)(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 。 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。 或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10),设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b^2/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张) ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量,y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 二次函数与X轴交点的情况 当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。 当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 当△=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
编辑本段图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。 2画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a) 3与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0) a,b同号,对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴 a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k ) 当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号 当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的 斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于(0,C) 注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时,二次函数图像与x轴有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点 _______ 当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在x<h范围内是减函数,在 x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向 上,函数的值域是y>k 当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymix=k,在x>h范围内事增函数,在 x<h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下 ,函数的值域是y<k 当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
特殊值的形式
7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k ②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k ③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k ④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
8.定义域:R 值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a, 正无穷);②[t,正无穷) 奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。 周期性:无 解析式: ①y=ax^2;+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下; ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a); ⑷Δ=b2-4ac, Δ>0,图象与x轴交于两点: ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0); Δ=0,图象与x轴交于一点: (-b/2a,0); Δ<0,图象与x轴无交点; ②y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0) 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用)。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
编辑本段两图像对称
对于一般式: ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式: ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同。 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反。 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反。 (其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
编辑本段二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k<0)的图象 当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k>0)的图象 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k<0)的图象 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。 3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。 4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣(a绝对值分之根号下△)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标) 当△=0.图象与x轴只有一个交点; 当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。 5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询