Question

谁可以总结一下初中数学几何题做辅助线的规律(北师大教科书)?请回答.

Answer 1

用平移、旋转、对称法添加辅助线
　　平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时，掌握适当的添加辅助线的方法，对于提高学生的解（证）题能力是十分重要的。
2.1利用平移添加辅助线
　　 涉及梯形一类问题，往往将梯形的腰或对角线平移，构成平行四边形和三角形。
例1.梯形ABCD中，DC∥AB，∠A和∠B互余，M、N分别是DC、AB的中点，求证：MN=(AB-CD)。
分析：将DA平移至ME，CB平移至MF，则构成了□AEMD□BFMC和□EMF,易证△EMF是直角三角形，且MN是斜边EF上的中线，则有MN=EF，而EF=AB-CD，当然，还可以通过添加其他辅助线完成，但这样添加比较快捷。
　 例2.梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AD=12，BC=18，AE∶EB=2∶3，求EF的长。
分析：过点D作DG∥AB，分别交EF于H，交BC于G，只要分别求出EH、HF的长即可。
　 解：过点D作DG∥AB，分别交EF于H, 交BC于G
∵AD∥EF∥BC，AD=12，BC=18，
∴AD=EH=BG=12 ∴GC=BC-BG=18-12=6
　 AE∶EB= DH∶HG=2∶3 ∴DH∶DG=2∶5
∵DH∶DG= FH∶CG ∴FH∶6=2∶5
∴FH=2.4 ∴EF=12+2.4=14.4
2.2利用旋转添加辅助线
2.2.1涉及梯形腰上中点问题
　　 例3.已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，ED平分∠ADC，且AD+BC=CD，求证：①EC⊥DE，②EC平分∠BCD。
分析：将△AED绕点E旋转，使A和B重合，点D落在CB的延长线上， 则△AED和△BEF全等， 可得DE=FE；由题条件易知∠2=∠F， 则CD=CF,根据等腰三角形三线合一性质可得结论。
2.2.2涉及正方形有关问题
　　往将某一三角形绕顶点旋转一定的角度，随着图形的变换，问题就可解决。
　 例4正方形ABCD中，M、N在边BC、CD上，∠MAN=45°；求证：MN=MB+ND。
分析：将△AND绕点A顺时针旋转90° 则和 △ABE重合， 可得∠EAN=90°，AE=AN，BE=DN，由∠MAN=45°，得∠EAM=∠MAN=45°，那么△AEM≌△ANM，MN=ME=MB+BE=MB+DN。
2.3利用对称添加辅助线
　　在三角形有关线段和、差问题，往往借助角平分线把一个三角形沿角平分线翻折，构造三角形全等，进行等量代换。
　　 例5.已知，等腰直角三角形ACB中，∠C=90°，AD平分∠CAD，求证：AB=AC+CD。
2 分析：延长CD到E，使CE=CA=CB，则可证明
△CAM≌△CEM；△CBN≌△CEN，可得：ME=MA，NE=NB，∠1=∠A，∠2=∠B；所以∠MEN=90°，利用勾股定理：MN2=ME2+NE2=MA2=NB2。上述两例在添加辅助线问题中也称截长补短。
3 其他添加辅助线问题
3.1在比例线段问题计算和证明中，常作平行线作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
　　例7.△ABC中，D是AC上一点，F是CB延长线上一点，且AD=BF，DF交AB于E，求证：EF∶ED= AC∶BC。
　　分析：证明本题的基本思想是添加平行线，作平行线时可保留EF∶ED这个比。
　　证法1：过点D作DM∥CF，交AB于M。
　 则EF∶ED= BF∶DM
　 AD∶DM= AC∶BC
　 ∵ AD=BF
　 ∴EF∶ED= AC∶BC
　　证法2：过点F作FG∥AC，交AB延长线于G，
　 则FG∶AD= FE∶DE
　 AC∶BC= FG∶FB
　 ∵ AD=BF
　 ∴EF∶ED= AC∶BC。
3.2见中点引中位线，利用中位线的性质
　　例8.△ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F，求证FC=2AF。
　　证法1：分析：由已知D是BC边的中点，E是AD边的中点，容易想到用中位线来解决问题。如图12，过点D作DG∥AC交BF于G，则G为BF的中点，DG是△BFC的中位线，可得FC=2DG；由E是AD边的中点，DG∥AC，易证DG=AF，所以FC=2DG。
　　证法2：过点D作DG∥BF交AC于G，由D是BC中点，则FG=GC；由E是AD中点，DG∥BF，则AF=FG，所以AF=FG=GC，即可得FC=2DG。
例9.试说明顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知 ：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试说明四边形EFGH是平行四边形。
用梯形中位线性质可知EF⊥AB ，再由等腰三角形“三线合一”性质即可求解。本题也可延长AF、BC相交，利用直角三角形斜边上中线的性质求解。另外，通过对本题的求解，可得相应的两个命题：一是直角梯形斜腰上的中点到另一腰的两个端点的距离相等，二是任意梯形一要中点到另一腰两个端点组成的三角形面积等于梯形面积的一半。这两个命题在具体解题中可以帮助我们审题。值得大家注意的是，三角形的中位线和梯形的中位线的性质为说明几何问题中的平行关系，线段的倍半关系等提供了新的依据，创造了新的求解途径。所以在处理有关几何问题时，可以联想中位线的性质，通过作辅助线构造中位线，为求解提供方便。

Answer 2

人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

Answer 3

辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

Answer 4

我们通常会用到两种，一是倍长中线，二是角平分线上做两边的距离。这在证明全等三角形时很有用