Question

一道圆锥曲线题，用参数方程解。

已知椭圆方程为x^2/4+y^2=1,A,B在椭圆上，满足OA与OB垂直.求三角形AOB面积的最大与最小值.

首先我设B(2cosa1,sina1),A(2cosa2,sina2)

由向量OA与OB垂直可得 tana1tana2=-4

于是三角形面积可化简为 S=sin(a2-a1)

请问接下来该怎么做呢？常规解法太麻烦了懒得想= =

答案是[4/5,1].

Answer 1

你这个面积形式不对
S=OA*OB/2=sqrt[(4cos²a1+sin²a1)(4cos²a2+sin²a2)]/2
=sqrt[(4+tan²a1)(4+tan²a2)/(1+tan²a1)(1+tan²a2)]/2
=sqrt[(32+4tan²a1+4tan²a2)/(17+tan²a1+tan²a2)]/2
=sqrt[4-36/(17+tan²a1+tan²a2)]/2
sqrt是根号
tan²a1+tan²a2≥2sqrt(tan²a1*tan²a2)=8
所以S的范围是[4/5,1]