Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上

（2）若抛物线y=ax²+bx+5过点D、E与y轴交于点H，交X轴的负半轴于F点，问，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？如果存在，求点P的坐标。
（3）点Q是（2）问中抛物线的一动点，如果直线QH与矩形OABC的边有两个不同的交点M,N（其中M在线段CB上），问，四边形OCMN是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和取得最大值时点Q的坐标

Answer 1

解：（1）设D坐标为（o，x)

                易证三角形CDE相似于三角形BEA

               所以DE/AE=CD/BE

              所以x/5=4-x/3

               所以x=2.5

              所以D（0,2。5）E（2,4)

       (2)易证三角形APM相似于三角形AED

           所以t/5=PM/2.5

           所以PM=1/2t

           所以S=（5-t)*1/2t

                    =-1/2t平方+5/2t

                    =-1/2(t-5/2)平方+25/8

                   所以  当t=5/2时，S大=25/8

         至于第三题，原本想请教大家的，谁知道怎么乱七八糟的，我把草图画出来，请大家帮帮忙

       

 

       

Answer 2

由于D在OC边上，设D的坐标为（y,0); E在BC边上，设E的坐标为（x,4）
直角三角形AOD与直角三角形AED全等，EA=OA=5; 矩形OABC的两边AB=OC=4,
根据勾股定理，直角三角形AEB的直角边EB=3。X=OA-EB=5-3=2。
在直角三角形DEC中，DE=OD=y，CD=4-y，CE=x=2，y2+(4-y)2=4，解方程，得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为（2.5，0）和（2，4）。
（2）和（3）题，请给图和完整的问题。

Answer 3

解答：解：（1）依题意，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE2=OE2-OC2=52-32=42，
∴CE=4．
设点D的坐标为（5，y），
则AD=DE=y，BD=3-y，BE=5-4=1．
在Rt△BED中，ED2=EB2+BD2，
∴y2=12+（3-y）2，
解得y=53，
∴点D，E的坐标分别为（5，53），（4，3）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点D（5，53），E（4，3），F（-5，0），
∴25a+5b+c=5316a+4b+c=325a-5b+c=0，
解得a=-16b=16c=5，
∴抛物线的解析式为y=-16x2+16x+5．
对称轴的方程为x=-b2a=-162×(-16)=12．
∴对称轴的方程为x=12．

（3）存在这样的P点，使△PFH的内心在坐标轴上．