Question

已知函数f(x)=x+a/x,g(x)=x-a/x,a＜0.

(1)求证：函数f(x)在（0，1]上是单调递增函数
(2)若函数g(x)在在（0，1]上是单调减函数，求a的取值范围
要过程哦

Answer 1

解：⑴、f(x)=x+a/x,且a<0
所以：y=x为定义域内的增函数，y=a/x（a<0）也是定义域内的增函数，而且都是基本初等函数，一眼就可看出，增函数加上增函数依旧是增函数，所以f(x)=x+a/x为定义域内的增函数。
所以：函数f(x)在（0，1]上为单调递增函数。
或者 我们也可以求导 f'(x)=1-a/x²>0在定义域内恒成立，所以f(x)为定义域上的增函数。
⑵、g(x)=x-a/x=x+(-a/x) 且 a<0
所以：g(x)是p函数，可以根据均值定理来做
即：(a+b)/2 ≥√(ab) (a>0,b>0的情况下）当且仅当a=b时取等号
所以：当x>0时 ，g(x)=x+(-a/x)≥2√(-a)
所以：根据p函数的特性x=-a/x时取等号，即：x=√(-a)
所以：g(x)在（0，√(-a)]上为减函数
因为：函数g(x)在在（0，1]上是单调减函数
所以：√(-a)≥1
所以：a≤-1
或者 我们也可以求导g'(x)=1+a/x²
因为：函数g(x)在在（0，1]上是单调减函数
所以：当x∈（0，1]时，g'(x)≤0恒成立
很显然y=a/x²（a＜0）在x∈（0，1]时为增函数（这个我就不说明了）
所以：当x=1时y=a/x²（a<0）取得最大值为y=a
所以：只要1+a≤0即可
所以：a≤-1

Answer 2

(1)f'(x)=1-a/x²，因为a<0，所以f'(x)>0，从而f(x)在0，1]上是单调递增函数。
(2)g'(x)=1+a/x²，由于g(x)在（0，1]上是单调减函数,
所以 当x∈(0，1]时，有g'(x)=1+a/x²<0
即 a<-x²
从而 a<(-x²)min，x∈(0，1]
即a<-1