Question

在圆O中，C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD=CA，连接DB，并延长交圆O于点E，连接AE

求证 AE是圆O的直径

Answer 1

在圆O中连接BC，因为C为劣弧AB的中点，可以得出AC=BC，所以角CAB=角CBA，又因为AC=DC故DC=BC，所以角CBD=角D，因为A 、C 、D 、在一条直线上所以三角形ABD内角和为180°，即角DAB＋角D＋角DBA=180°，又因为角DAB+角D=角DBA，所以角DBA=90°，即DB垂直于AB，角ABE=90°，又因为OC垂直于AB（C是中点可得），所以OC平行于DE，假如延长AO交圆于F点，连BF则BF为直径，得出角ABF=90°，又因为角ABE=90°，且E也在圆上，故E与F点重合，即AE就是圆O的直径

Answer 2

20、（2011•深圳）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）

考点：扇形面积的计算；勾股定理；圆周角定理。
专题：证明题；几何综合题。
分析：（1）连接CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CE平分∠AED，再根据CD=CA，得△ADE为等腰三角形，则CE⊥AD，从而证出AE是⊙O的直径；
（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．
解答：解：（1）连接CB， AB，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CE平分∠AED，
∴CB=CA，
∵CD=CA，
∴△ABD是直角三角形
∴即∠ABE=90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，
∴CE=2√21，
∴S阴影=S半圆﹣S△ACE=12.5π﹣1/2×4×2√21=12.5π﹣4√21．
点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．

Answer 3

解：连BO,交AC于E, 因为B是劣弧AC的中点所以AB=BC=2, BC^2=BE*6, 所以∠A=∠ACB.BE=2/3 又因为AB=BD, 所以BD=BC 所以∠D=∠BCD, 所以∠