Question

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Rt△ABC,∠BAC=90°,∠B=45°,AB=2,点D为BC的中点,已知∠PDQ=45°将∠PDQ绕点D旋转。
（1）将∠PDQ旋转到如图（1），DQ交AC的延长线于点F，且DE=2CE，求DF的长
（2）将∠PDQ旋转到图（2），DP交BA的延长线于点D，DQ交AC于点E，连接EF，求证：△BDF∽△DEF
第一问图http://zhidao.baidu.com/question/358666268.html?oldq=1

Answer 1

首先我要说的是你所画的图不准确！
（1）作辅助线，连接AD，易得∠FAD=∠DCE=45° ∠ADC=90° AD=√2
∠PDQ=45°，所以 ∠CDE=45°-∠CDF
∠ADF=180°-45°- 90° -∠CDF=45°-∠CDF=∠CDE
所以△CDE∽△AFD 有DE:FD=CE:AD ，DF=2AD=2√2

（2）∠PDC为△PBD的外角，∠PDC=45°+∠CDE=∠B+∠BPD=45°+∠BPD
→∠CDE = ∠BPD ①
又等腰Rt△ABC中，∠B=∠DCE
→△CDE∽△BFD 有DE:FD=CD:BF 又BD=CD
所以DE:FD=BD:BF ②
由①②综相似原理可得：△BDF∽△DEF，证毕

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