Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．

将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．
（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；
（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．
①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？如果不变，求出其值；
②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：是否存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似？若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．
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Answer 1

(1)抛物线y=-x²+bx+c过点B(-1,2)和F(2,1),则：
2=-1-b+c;
1=-4+2b+c.
解得：b=2/3,c=11/3.故抛物线解析式为y=-x²+(2/3)x+11/3.
(2)①经过t秒时(0<t<1),见图2。
DO=t,S矩形DEFG与矩形OABC重合部分面积S1=DO*DE=1*t=t;
y=-x²+(2/3)x+11/3的对称轴为X=1/3,设对称轴交X轴于M,则AM=AO+OM=1+1/3=4/3.
S⊿AQF=S⊿ABF-S⊿ABQ=AB*AG/2-AB*AM/2=2*(AO+DG-DO)/2-2*(4/3)/2=5/3-t.
∴S1+S2=t+(5/3-t)=5/3.
②在0<t<3的条件下，存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似;
此时t=1或5/2，对应的点P坐标为（1/2，0）或（-5/2，0）。

Answer 2

1抛物线y=-x²+bx+c过点B(-1,2)和F(2,1),则：
2=-1-b+c;
1=-4+2b+c.
解得：b=2/3,c=11/3.解析式为y=-x²+(2/3)x+11/3.
2①经过t秒时(0<t<1),见图2。
DO=t,S矩形DEFG与矩形OABC面积S1=DO*DE=1*t=t;
y=-x²+(2/3)x+11/3的对称轴为X=1/3,设对称轴交X轴于M,则AM=AO+OM=1+1/3=4/3.
S⊿AQF=S⊿ABF-S⊿ABQ=AB*AG/2-AB*AM/2=2*(AO+DG-DO)/2-2*(4/3)/2=5/3-t.
∴S1+S2=t+(5/3-t)=5/3.
②在0<t<3的条件下，存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似;
此时t=1或5/2，对应的点P坐标为（1/2，0）或（-5/2，0）。