Question

微积分 分已经不多，但这是我最后的一点，谢谢 希望把解题详细过程写出来。

238页：78题：试证明曲线y=x^3在任何点（a,a^3)处的切线一定与该曲线再次相交，交点处的斜率是在点（a,a^3)处斜率的4倍。

242页;5题：求h,k和a的值，使得圆(x-h)^2+(y-k)^2=a^2与抛物线y=x^2+1相切与点（1,2）还使得两曲线的d^2y/dx^2在该点相等。

6题：一辆公共汽车能容纳60人，租用该辆车每次旅行乘客人数x和支付的费用p(美元）之间的关系法则P=[3-(x/40)]^2给出，写出公共汽车公司得到的每次旅行的总收入r(x)的表达式，使边际收入dr/dx等于零的每次旅行的人数为多少？相应的费用为多少？

Answer 1

238页：78题：y=x³，求导后，y ' = 3x²
y=x³在点（a,a³)斜率为3a²，经过改点的切线方程为：y = 3a²x - 2a³
联立：y=x³、y = 3a²x - 2a³
解：x=a，或者x = -2a
x=a为切点，所以经过点（a,a^3)处的切线一定与该曲线再次相交，交点的横坐标为 -2a
则另一交点的斜率 = 12a²
所以，另一交点处的斜率是在点（a,a^3)处斜率的4倍。

恕我能力有限，其他两道题没学过，不会

Answer 2

1 答案同上
y=x^3
y'=3x^2
(a,a^3)切线 y-a^3=(3a^2)(x-a)
y=3a^2 x-2a^3
y=x^3
x^3=3a^2x-2a^3
(x-a)(x-a)(x+2a)=0
x=-2a
y'(x=-2a)=3*(-2a)^2=12a^2=4*y'(x=a)

2
(x-h)^2+(y-k)^2=a^2
2(x-h)+2(y-k)y'=0 2+2y'^2+2(y-k)y''=0
y'=(h-x)/(y-k) y''=(1+y'^2)/(k-y)
(1,2)处y‘=(h-1)/(2-k)
切线 y-2=[(h-1)/(2-k)](x-1)

y=x^2+1
y'=2x, y'(1)=2 在（1.2）处切线 y-2=2(x-1)
y=2x-4
y''=2

(h-1)/(2-k)=2 y''=5/(k-2)=2 k-2=5/2 k=9/2
h-1=4-2k
h=5-2k=-4
(x+4)^2+(y-9/2)^2=a^2 x=1,y=2 a^2=25+25/4=125/4

P=[3-(x/40)]^2
x=0,P=9
r(x)=Px-9=[3-(x/40)]^2 *x-9
=x^3/1600-6x^2/40+9x-9
dr/dx=3x^2/1600-12x/40+9
dr/dx=0