Question

为什么齐次线性方程组的的系数行列式等于零就有非零解？能证明一下吗

为什么齐次线性方程组的的系数行列式等于零就有非零解？能证明一下吗？

Answer 1

这个系数行列式必然行数和列数是想等的，如果这个行列式的值是0那么行列式在行的初等变换中 必然可以出现一行全部都是0的状态。

这样一来也就是说，以前的方程组里面相互可以消掉某个方程，这个时候就出现了未知数数量大于方程数量，更多的未知数需要满足的方程数比较少所以，可取的值就会更多也就有非零解了。

常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

Answer 2

这个系数行列式必然行数和列数是想等的，如果这个行列式的值是0 那么行列式在行的初等变换中 必然可以出现一行全部都是0的状态，这样一来也就是说 以前的方程组里面相互可以消掉某个方程，这个时候 就出现了 未知数数量 大于 方程数量，更多的未知数需要满足的方程数比较少 所以，可取的值就会更多 也就有非零解了。

Answer 3

系数行列式为零意味着系数矩阵奇异，也就是各列组成的向量组线性相关，也就是存在一组非零的值他们与相应列乘积的和为零，这组值就是解。