Question

高数高手请进！

Answer 1

1.看到这种题目第一个想到的是《零点定理与介值定理》
2.想一下他的定义域在区间(-∞,+∞)上，即x属于R
3.说明该函数在区间(-∞,+∞)上连续
证明：
构造一个函数 第1步构造函数
f(x)=X^5+X-1
f(x)'=5x^4+1 第2步求导
∵ f(x)'=5x^4+1>0 第3步整个大于0，导数是对斜率的判断
∴ 函数f(x)是单调递增函数
∵ lim(x->-∞)f(x) = lim(x->-∞)(x^5+x-1)=-∞<0 第4步对左极限的判断
∴ lim(x->+∞)f(x) = lim(x->+∞)(x^5+x-1)=+∞>0 第5步对右极限的判断
根据零点定理在(-∞,+∞)上，只有一个点K kesei 打不出来见谅用k代替
使得 f(k)=0 kesei是任意取的数
∴ f(x)只有一个根

你要记住可导比连续
做这种题目一定要了解他的左右极限
可惜不能画图，画张图就更详细了！
如果你用的是《同济大学数学系第六版》的书建议翻到72页
数学加油！

Answer 2

解：令f(x)=x^5+x-1，显然，它在区间(-∞,+∞)上是连续函数。
∵f'(x)=5x^4+1>0
∴函数f(x)是严格单调递增函数
∵lim(x->-∞)f(x)=lim(x->-∞)(x^5+x-1)=-∞<0
lim(x->+∞)f(x)=lim(x->+∞)(x^5+x-1)=+∞>0
∴函数f(x)一定与x轴有唯一的一个交点。即只存在唯一的一个x=t，使得t^5+t-1=0
故方程x^5+x-1=0只有唯一的一个方程根。

追问

为什么要用左右极限来证明呢？

追答

这步很重要。用左右极限来说明连续函数f(x)一部分图像在x轴的下方，一部分在x轴的上方。因为它是连续函数，所以它一定要与x轴相交。这个交点就是方程的根。

Answer 3

y=x^5+x-1
y'=5x^4+1
y'>0
x=-1,y=-3
x=1,y=1
y=x^5+x-1在实数域内连续，
因此存在 -1<x0<1, x0^5+x0-1=0
假设存在x1≠x0,x1^5+x1-1=0
那么必然存在 x1>x0 或 x1<x0,
x1^5+x1-1≠x0^5+x0-1 =0
这和假设矛盾
因此x^5+x-1=0只有1个方程根

追问

关于你的第二步回答我不是太懂，请能详细点吗？定理是什么？

追答

x1>x0时，因为y'>0
x1^5+x1-1>x0^5+x0-1
x10
x0^5+x0-1>x1^5+x1-1
x1^5+x1-1≠x0^5+x0-1=0
这和假设x1^5+x1-1=0矛盾