Question

已知定义域为R的函数y=f(x)满足：对于任意x、y属于R，f(x+y)=f(x)+f(y)

（1）求证：f(0)=0 (2)求证:y=f(x)是奇函数

Answer 1

1,f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0
2、对R中任意x有，f(-x)=f(x-x-x)=f(x)+f(-x)+f(-x)=f(x)+2f(-x),得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数

追问

谢谢 还有一题 3、若当x＞0时，f(x)＜0 ①判断f(x)在R上的单调性 ②若f(2)=-1,求f(x)在[2,4]上的最值

追答

3、（1）设<0x<y,因为是奇，故f(y)-f(x)=f(y)+f(-x)=f(y-x)<0,即f(x)在正实数范围内单减，由奇函数关于原点对称，于是f(x)在R内单减。
（2）最大值f(2)=-1,最小值f(4)=f(2)+f(2)=-2

Answer 2

(1)令x=y=0,那么f(0+0)=f(0)+f(0)即f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
(2)令y=-x,那么f(x-x)=f(x)+f(-x)即f(0)=f(x)+f(-x)所以0=f(x)+f(-x)即-f(x)=f(-x)所以f(x)是奇函数