Question

已知函数f(x)=x^2+alnx.⑵若函数g(x)=f(x)+2/x在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范

Answer 1

解：用图像法解比较方便
g(x)=f(x)+2/x=x^2+alnx+2/x
对g(x)求导可得：
g(x)'=2x+a/x-2/x^2
要使g(x)在[1,4]上是减函数，则有：
g(x)'≤0 x~[1,4] 恒成立，故有：
2x+a/x-2/x^2≤0
2x≤2/x^2-a/x ------- 2x^3≤(2-ax)
令：
A=2x^3 B=(2-ax) 则有：
A≤B在[1,4]上恒成立
三次函数的图像和一次函数的图像就请楼主自己画了
由图像可知：
一次函数B的斜率必须为正值，因此有：
-a>0 ----- a<0
当x=4时是零界点，代入得：
2x64=2-4a 解得：
a= -63/2
根据图像可看出一次函数B的斜率越大越好，即是 -a 的值越大越好，故 a 的值则越小越好
因此综上可得：
a~(-∞, -63/2]
希望对楼主有帮助，如果有不清楚的再跟我说吧！

追问

用a<=-2x^2+2/x 算会比较容易 设h'x)=-2x^2+2/x 再求导，不过算出来的值很怪

追答

那样的话就又求了一次导数又出现了分母为二次方的项，我个人觉得还是上面那个图像法更好理解。
楼主觉得哪种简单就用哪种，只是算法不一样，方法都是一样的。

Answer 2

g(x)的导函数《0在[1,4]上横成立