Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．

Answer 1

证明1 在DB取点E,使AD=DE　
∠EDC ＝ ∠ADC＝90 CD=CD
△ADC全等△EDC AC=CE ∠ACD=∠DCE
∠A=60 所 △ACE为等边三角形 所∠ACD=∠DCE=∠ECB=∠B=90-60=30
CD⊥AB ∠C=90 AC=AE=CE=BE
AD=DE=1/2AE 2AD＝BE　　2AD＋DE＝BE＋DE　　3AD＝BD
　2）在DB取点E,使AD=DE　BD=3AD　　BD－DE＝3AD－AD　　BE＝2AD＝AE
　　　∠C=90 　　CE是斜边的中线　　CE＝AE＝BE
　　　∠EDC ＝ ∠ADC＝90 CD=CD △ADC全等△EDC AC=AE　所 AC=CE=AE
△ACE为等边三角形 ∠A=60°

Answer 2

证明：
1、
∵Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°
∴AC/AB＝cos∠A
∴AC/AB=1/2
∴AB=2AC
∵CD⊥AB，∠A=60°
∴AD/AC＝cos∠A
∴AD/AC=1/2
∴AC＝2AD
∴AB＝4AD
∵AD+BD＝AB
∴AD+BD＝4AD
∴BD＝3AD
2、
∵BD＝3AD
∴AB＝AD+BD＝4AD
∵Rt△ABC，∠C=90°
∴cos∠A＝AC/AB＝AC/4AD
∵CD⊥AB
∴cos∠A＝AD/AC
∴AC/4AD＝AD/AC
∴（AD/AC）²＝1/4
∴AD/AC＝1/2
∴cos∠A＝AD/AC＝1/2
∴∠A=60°

Answer 3

⑴RT△ABC、RT△CDB、RT△ACD都含30°角的直角三角形，
而含30°角的直角三角形的一个特性：30°角所对的直角边是斜边的一半。
∴在RT△CDA中，AC=2AD，在RT△ABC中，AB=2AC=4AD，
∴BD=3AD
⑵∵BD=3AD，∴AB=4AD，
∵RT△ADC∽RT△ACB，∴AC^2=AD*AB=4AD^2，
∴AC=2AD，∵cosA=AD/AC=0.5，
∴∠A=60°。