Question

矩阵 解向量

4元非齐次线性方程的系数矩阵秩为3，已知a1，a2，a3是它的3个解向量且 a1=（1 2 3 4）T a2+a3= （0 1 2 3）T 则该方程组的通解为

Answer 1

解: 因为r(A)=3, 所以AX=0的基础解系含 4-r(A)=1个解向量
所以 2a1-(a2+a3)=(2,3,4,5)^T≠0 是AX=0的基础解系
所以方程组AX=B的通解是 (1,2,3,4)^T + c(0,4,6,8)^T.

追问

所以 2a1-(a2+a3)=(2,3,4,5)^T≠0 是AX=0的基础解系 不理解
如果（2345）T是基础解系 通解 不应该是 （1 2 3 4）T+c（2 3 4 5）T 吗？

追答

对对, 我晕了 忘改下面了
通解是 (1,2,3,4)^T + c(2,3,4,5)^T.

2a1-(a2+a3)=(a1-a2) + (a1-a3) 是AX=0 的解!

追问

但是 为什么 基础解系 是 2a1-(a2+a3) 呢 特解 为什么是 （1 2 3 4）

追答

已知条件: a1=(1,2,3,4)^T 是非齐次线性方程组的解, 自然是特解

基础解系不唯一, 但AX=0的基础解系含 4-r(A)=1个解向量
所以AX=0的任一非零解都是它的基础解系.

追问

那特解 （1 2 3 4）T 是怎么得到的呢？

追答

是已知