Question

已知:如图,AB为⊙O的弦,∠OBA=45°，C是优弧AB上的一点，AD//OB,CB的延长线与AD交于点D，连接AC

（1）求证：AD是⊙O的切线;
（2）若BC=8√3，∠CBA=75°，求⊙O中阴影部分（弓形）的面积。

不过图可能不是很规范哦

Answer 1

(1)证明:连接OA.
OA=OB,则∠OAB=∠OBA=45度,∠AOB=90°.
∵AD∥OB.
∴∠DAO+∠AOB=180°,∠DAO=90°,故AD是圆O的切线.
(2)解:连接OC.∠CBO=∠CBA-∠OBA=30°.
OB=OC,则∠OBC=∠OCB=30°,∠BOC=120°.
作OM垂直BC于M,则BM=BC/2=4√3.OB=2OM.
∴OB²-OM²=3OM²=BM²,即3OM²=48,OM=4,OB=2OM=8.
S扇形OBC=120*π*8²/360=64π/3; S三角形OBC=BC*OM/2=16√3.
所以S阴影=S扇形OBC-S三角形OBC=(64π/3)-16√3.

Answer 2

(手机答的，不是很规范，求采纳，谢谢！)
1)连接OA
角OBA=45度，
OB=OA
所以角OAB=45度
所以三角形ABO为直角三角形，所以AO垂直BO，又因为OB//AD,所以OA垂直AD,所以AD是圆的切线。
2)连接OC,过O作OE垂直BC,垂足为E,因为角CBA=75度，角OBA=45度，所以角OBC=30度，角BOC=120度，BC=8根号3，可得BE=4根号3，由正切定理得OE=4,所以OB=8,扇形OBC面积为圆的1/3,即S扇obc=1/3圆=1/3*OB*OB*3.14=66.882,三角形OBC面积为1/2*BC*OE=16根号3，所以所求面积为66.882-16根号3=…(手机写的，符号打不出来，自己理解一下喔！)