Question

在RtABC中,∠ACB=90度,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,交AB于点F,连接D

在RtABC中,∠ACB=90度,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,交AB于点F,连接DF.求证：,∠ADC=∠BBF

Answer 1

法一： 证明： 延长CF到G,使EG=CE，连接BG,则E是线段CG的中点 ∵D是BC的中点 ∴ED是三角形BCG的中位线 ED//BG ∴AF:BF=AE:BG.....(1) ∵△ABC为等腰RT△ ∴AC=CB ∠ACE=∠ADC（直角三角形中易证）.......(2) ∵ED//BG ∠AEC=∠CGB=90°，∠ADC=∠CBG联立（2）知∠ACE=∠CBG ∴△CAE≌△BCG(AAS) CE=BG,AE=CG ∵CE=EG, ∴AE=2BG带入（1）有AF:BF=2:1....(3) ∵AC=BC=2BD即AC:BD=2:1.....(4) 联立(3)(4)AF:BF=AC:BD ∵等腰RT△ABC中∠CAF=∠DBF=45° ∴△ACF∽△BDF(相似三角形的判定定理之一) ∠ACF=∠BDF联立（2）得 ∠ADC=∠BDF 法二： 证明：过B作BG⊥BC交CF的延长线于G ∵△ABC为等腰RT△ ∴AC=BC,∠CBA=45° ∵∠CAD=∠BCG(直角三角形中易得)，∠ACD=∠CBG=90° ∴△ACD≌△CBG(AAS) CD=BG，∠ADC=∠G ∵D为BC中点,BD=CD ∴BD=BG ∵∠FBG=90°-∠CBA=90°-45°=45°=FBD BF为公共边 ∴FBD≌△FBG(SAS) ∠BDF=∠G ∵∠ADC=∠G ∴∠ADC=∠BDF 3.过C作CG⊥AB于G，交AD于H ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ACG=∠B，AC=BC ∵∠CAD+∠CDA=∠DCF+∠CDA=90° ∴∠CAD=∠DCE ∴△ACH≌△CBF ∴CH=BF 在△CDH和△BDF中 BD=CD，∠BCG=∠B=45°，CH=BF ∴△CDH≌△BDF ∴∠ADC=∠BDF

Answer 2

法一：
证明：
延长CF到G,使EG=CE，连接BG,则E是线段CG的中点
∵D是BC的中点
∴ED是三角形BCG的中位线
ED//BG
∴AF:BF=AE:BG.....(1)
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=CB
∠ACE=∠ADC（直角三角形中易证）.......(2)
∵ED//BG
∠AEC=∠CGB=90°，∠ADC=∠CBG联立（2）知∠ACE=∠CBG
∴△CAE≌△BCG(AAS)
CE=BG,AE=CG
∵CE=EG,
∴AE=2BG带入（1）有AF:BF=2:1....(3)
∵AC=BC=2BD即AC:BD=2:1.....(4)
联立(3)(4)AF:BF=AC:BD
∵等腰RT△ABC中∠CAF=∠DBF=45°
∴△ACF∽△BDF(相似三角形的判定定理之一)
∠ACF=∠BDF联立（2）得
∠ADC=∠BDF

法二：
证明：过B作BG⊥BC交CF的延长线于G
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=BC,∠CBA=45°
∵∠CAD=∠BCG(直角三角形中易得)，∠ACD=∠CBG=90°
∴△ACD≌△CBG(AAS)
CD=BG，∠ADC=∠G
∵D为BC中点,BD=CD
∴BD=BG
∵∠FBG=90°-∠CBA=90°-45°=45°=FBD
BF为公共边
∴FBD≌△FBG(SAS)
∠BDF=∠G
∵∠ADC=∠G
∴∠ADC=∠BDF
3.过C作CG⊥AB于G，交AD于H
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACG=∠B，AC=BC
∵∠CAD+∠CDA=∠DCF+∠CDA=90°
∴∠CAD=∠DCE
∴△ACH≌△CBF
∴CH=BF
在△CDH和△BDF中
BD=CD，∠BCG=∠B=45°，CH=BF
∴△CDH≌△BDF
∴∠ADC=∠BDF