Question

求函数y=(x-a)²+2,x属于[0,1]的最小值和最大值

Answer 1

1、（1）、当x≥a，即当0<a≤x时，有f(x)=x^2-ax+1=(x-a/2)^2-a^2/4+1
此时函数对称轴为x=a/2≤x/2≤2/2=1，函数定义域为【1,2】
故图象在对称轴右侧且开口向上，为单调增
最小值为f(1)=1-a+1=2-a，最大值为f（2）=4-2a+1=5-2a
（2）、当x＜a,即x<a<2，有f(x)=-x^2+ax+1=-(x-a/2)^2+a^2/4+1
对称轴为x=a/2, a/2<1，函数在定义域【1,2】开口向下,单调减
可知最小值一定为f(2)=-4+2a+1=2a-3，最大值f（1）=2-a
（3）当2<a<3时，x<a有f(x)=-x^2+ax+1=-(x-a/2)^2+a^2/4+1
对称轴为x=a/2, 1<a/2<1.5，函数图象在定义域【1,2】偏左，且开口向下
可知最小值一定为f(2)=-4+2a+1=2a-3，且f（1）=2-a，最大值f（a/2）=a^2/4+1
2、及时讨论f（x）与y=a两条曲线的交点个数
（1）当a∈（0,1)时，f（x）=x^2-ax+1，最小值2-a>1>a，此时无解
（2）当a∈[1,x]时，f（x）=x^2-ax+1，最小值2-a<1<a,最大值为5-2a≥1（∵a≤x≤2）
所以2-a<a≤5-2a,介于f（x）最大最小值之间，且f（x）单调，所以只有一个解
（3）当a∈（x,2]时，f(x)=-x^2+ax+1，∵1≤x<a，最大值2-a<a，此时无解
（4）当a∈（2,3)时，f(x)=-x^2+ax+1，因为a<2,所以最小值2a-3<a，且f（1）=2-a<a
最大值f（a/2）=a^2/4+1，∵a^2/4+1-a=(a/2-1)^2>0，∴f（a/2）>a
因此y=a介于最大最小值之间，且f（1）<a，所以此时有两个解。

Answer 2

函数 f(x)=(x-a)^2+2 ，抛物线开口向上，对称轴 x=a 。
1）如果 a<0 ，则 f(x) 在 [0，1] 上是增函数，所以 min=f(0)=a^2+2，max=f(1)=(a-1)^2+2；
2）如果 a>1，则 f(x) 在 [0，1] 上是减函数，所以 mim=f(1)=(a-1)^2+2，max=f(0)=a^2+2；
3）如果 0<=a<=1，则 min=f(a)=2，
①若 0<=a<1/2，则 max=f(1)=(a-1)^2+2；②若 1/2<=a<=1，则 max=f(0)=a^2+1。

Answer 3

要分类讨论吧