Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
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Answer 1

(1)
y
=
ax^2
+
bx
+
c
代入A,B,C的坐标:
A:
a
-b
+
c
=
0
B:
9a
+
3b
+
c
=
0
C:
c
=
3
a
=
-1,
b
=
2,
c
=
3
y
=
-x^2
+
2x
+
3
(2)
y
=
-x^2
+
2x
+
3
=
-(x
-
1)^2
+4
D(1,
4)
抛物线对称轴为x
=
1
P是C的以x
=
1为对称轴的对称点时,
|DC|
=
|DP|,
△PDC是等腰三角形
P的横坐标为2,
P(2,
3)
(3)
BC斜率k1
=
(3-0)/(0-3)
=
-1
CD斜率k2
=
(4-3)/(1-0)
=
1
k1*k2
=
-1
BC与CD垂直,
DM与CB平行,
DM斜率-1,
方程为
y
-
4
=
-(x
-1)
(点斜式)
y
=
-x
+
5
=
-x^2
+
2x
+
3
x^2
-3x
+
2
=
0
(x-1)(x-2)
=
0
x
=
1
(顶点D,
舍去)
x
=
2
与抛物线交点M(2,
3)