Question

偏微分问题，用达朗贝尔公式做的

求U

Answer 1

首先 u(x,t) = F(x-t)+G(x+t)
把 t=x 代入得到 F(0)+G(2x)=A(x)，即G(x)=A(x/2)-F(0)
再把 t=f(x) 代入得到 F(x-f(x))+G(x+f(x))=B(x)
令 g(x)=x-f(x)，那么 g'(x) 非零，故 g 可逆，记 h = g^{-1}。
B(x) = F(x-f(x))+G(x+f(x))
= F(g(x))+G(2x-g(x))
= F(g(x))+A(x-g(x)/2)-F(0)
所以 F(x) = B(h(x))-A(h(x)-x/2)+F(0)
再代回去得到
u(x,t) = F(x-t)+G(x+t)
= B(h(x-t))-A(h(x-t)-(x-t)/2)+F(0)+A((x+t)/2)-F(0)
= B(h(x-t))-A(h(x-t)-(x-t)/2)+A((x+t)/2)
h(x)是x-f(x)的反函数，这个应该没办法化掉