Question

高中数学选修2/1的两个问题 希望大家给予解答 多谢

1.已知双曲线的中心在原点 离心率为 根号3 若他的一条准线与抛物线y^2=4x的准线重合 则该双曲线与抛物线y^2=4x的一个交点到原点的距离为？
2已知F1 F2是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1 (a>0 b>0)的两个焦点 以线段F1F2为边做等边三角形 MF1F2 若边MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率为？
希望大家给予解答！

Answer 1

1.y^2=4x的准线为l：x=-1,
c/a=√3, a²/c=1 解得：
a=√3,c=3 ,b=√6
双曲线方程为：x²/3-y²/6=1
y²=4x与x²/3-y²/6=1联立
解得
x=3, x=-1(舍去）
y²=12，
交点到原点的距离为√（12+9）=√21
（2）因为MF₁F₂是等边三角形
又MF₁的中点在双曲线上，令中点为N
则 NF₂⊥MF₁，|F₁F₂|=2c
NF₂=√3c, NF₁=c
NF₂- NF₁=2a
2a=√3c-c=(√3-1)c
e=c/a=2/(√3-1)=√3+1