Question

x→0，求［√（1+tanx）－√（1+sinx）］/［x（1－cosx）］的极限

Answer 1

分子有理化
原式
=(tanx-sinx)/{x(1-cosx)[√(1+tanx)+√(1+sinx)]} (∵tanx-sinx=tanx(1-cosx))
=tanx/{x[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=(sinx/x)(1/cosx)/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
-->1×(1/1)×[1/(1+1)]
=1/2

Answer 2

lim（x→0）［√（1+tanx）－√（1+sinx）］/［x（1－cosx）］
=lim（x→0）（tanx-sinx）/{［x（1－cosx）］［√（1+tanx）+√（1+sinx）]}
=lim（x→0）tanx/{x［√（1+tanx）+√（1+sinx）]}
=1/2

Answer 3

x→0时 (1+x)^a→1+ax tanx→x 所以［√(1+tanx)－√(1+sinx)]/［x(1－cosx)]=[1+(1/2)tanx-1-(1/2)sinx]/[x(1-cosx)]=(1/2)(tanx-sinx)/[x(1-cosx)]=(1/2)tanx(1-cosx)/[x(1-cosx)]=(1/2)tanx/x=1/2