Question

大学数学高手来

已知∫(-∞,+∞)f(τ)/[(x-τ)^2+a^2]dτ=1/(x^2+b^2),0<a<b,求f(x).

Answer 1

运用傅里叶变换及留数理论

对方程两边同时取傅里叶变换有

F[∫(-∞,+∞)f(τ)/[(x-τ)^2+a^2]dτ]=F[1/(x^2+b^2)]

由卷积定理有

∫(-∞,+∞)f(τ)/[(x-τ)^2+a^2]dτ=f(x)※1/(x^2+a^2) 其中※ 表示卷积符号

得到F[∫(-∞,+∞)f(τ)/[(x-τ)^2+a^2]dτ]=F[f(x)※1/(x^2+a^2)]=F[f(x)]×F[1/(x^2+a^2)]=F[1/(x^2+b^2)]

解得 F[f(x)]=F[1/(x^2+b^2)]/F[1/(x^2+a^2)]

下面考察1/(x^2+b^2)的傅里叶变换,由定义可知

F[1/(x^2+b^2)]=∫(-∞,+∞)e^(iwx)/(x^2+b^2)dx=2∫(0,+∞)cos(wx)/(x^2+b^2)dx

记f(z)=e^(iwz)/(z^2+b^2) 其奇点为±ib

当w>0,F[1/(x^2+b^2)]=2πiRes[f(z),ib]=(π/b)e^(-wb)

当w<0,F[1/(x^2+b^2)]=-2πiRes[f(z),-ib]=(π/b)e^(wb)

因此 F[1/(x^2+b^2)]=(π/b)e^(-|w|b)

同理 F[1/(x^2+a^2)]=(π/a)e^(-|w|a)

于是F[f(x)]=(a/b)e^[-|w|(b-a)]=[a(b-a)/(bπ)]{[π/(b-a)]e^[-|w|(b-a)]}
=[a(b-a)/(bπ)]×F[1/[x^2+(b-a)^2]

取逆变换有 f(x)=a(b-a)/{bπ[x^2+(b-a)^2]}

Answer 2

没做出来