Question

高数题目，在线等解答！！！

设f(x)在区间[0,1]上连续，在区间(0,1)上可导，f(0)=0,f(1)=1/2,f(1/2)=1，证明在区间(0,1)内至少存在一点a，使得f '(a)=1.

我想问能不能直接用拉格朗日中值定理来解，这样解很简单。

Answer 1

拉格朗日中值定理, 在那个区间上用，【0,1】，还是 【0,1/2】上？ 都不对。
需考虑 g(x) = f(x) - x , g(1/2) > 0, g(1) < 0
存在 ξ ∈ (1/2, 1) , 使得：g(ξ) = 0
g(x) 在 【0，ξ】上满足 Rolle 定理，
故存在 a ∈ （0，ξ），使得：g ‘ (a) = 0
即 f ' (a) = 1

追问

哦，看出问题了。谢谢啊！
但是，对于你那个解法，g(x) = f(x) - x 这个东东我还没能力想到啊。
怎么就知道是减x呢？
能详细的说一下你整个思考过程吗？

追答

从结论入手， f '(a)=1 即 f '(a) - 1 = 0
这是函数 f(x) - x 的导数在 x=a 的值，考虑 Rolle定理，再去凑条件。