Question

设f(x)在[a,b]二阶可导,且f''(x)<0。证明:(b-a)[f(a)+f(b)]/2≦∫_a^b▒〖f(x)dx〗

Answer 1

这也就是所谓的Hadamard不等式得一边，

Answer 2

条件是f是凸函数，因此在Riemann和中的分划以中点为分界线，左边平均分为n份，右边均分为n份，取节点时也是以中点对称的取。利用凸函数关于中点的性质（f(x1)+f(x2)<=f[(x1+x2)/2]）然后对Riemann和取极限就得不等式。