Question

几何证明题。

四边形ABCD内接于圆O，延长AB、CD交于E，延长AD、BC交于F，
且EM切圆O于M，FN切圆O于N；以EM、FN为半径作弧交于K。
证明：EK⊥FK
图有些复杂，大神们可以自己再画一个
方法任用

Answer 1

∵∠EKF＝∠DKE－∠DKF、∠EKF＝∠BKF－∠BKE，
∴2∠EKF＝∠DKE＋∠BKF－∠DKF－∠BKE。

∵EM、FN分别切⊙O于M、N，∴由切割线定理，有：
EM^2＝EB×EA、EM^2＝EC×ED、FN^2＝FD×FA、FN^2＝FC×FB。
∵EM＝EK、FN＝FK，∴EK^2＝EB×EA、EK^2＝EC×ED、FK^2＝FD×FA、FK^2＝FC×FB。
∴EK/EA＝EB/EK、EK/ED＝EC/EK、FK/FA＝FD/FK、FK/FB＝FC/FK。

由EK/EA＝EB/EK、∠BEK＝∠KEA，得：△BEK∽△KEA，∴∠BKE＝∠EAK。
由FK/FA＝FD/FK、∠DFK＝∠KFA，得：△DFK∽△KFA，∴∠DKF＝∠FAK。
由EK/ED＝EC/EK、∠KED＝∠CEK，得：△DEK∽△KEC，∴∠DKE＝∠KCE。
由FK/FB＝FC/FK、∠KFB＝∠CFK，得：△BFK∽△KFC，∴∠BKF＝∠KCF。

∴2∠EKF＝∠KCE＋∠KCF－∠FAK－∠EAK，
∴2∠EKF＝∠BCE＋∠BCK＋∠DCF＋∠DCK－∠BAD,
∴2∠EKF＝∠BCE＋∠DCF＋∠BCD－∠BAD。

∵ABCD是圆内接四边形，∴∠BCE＝∠DCF＝∠BAD、∠BCD＋∠BAD＝180°。
∴2∠EKF＝∠BAD＋∠BAD＋∠BCD－∠BAD＝∠BCD＋∠BAD＝180°，
∴∠EKF＝90°，∴EK⊥FK。

追问

我想知道对于这种题该往哪方面去想
条件好分散，我很难把它们集中到一起。。

追答

学有常法而无定法。基本的思路就是由需要证明的结论开始往回逆推，看看哪条线路能将条件与结论联系在一起。
具体问题具体分析，离开了问题是讲不清楚的。　要讲清楚，恐怕需要写一本书了。