Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），若点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有若干个．
（1）请在坐标系中把所有这样的点C都找出来，画上实心点，这些点用C1，C2，…表示；
（2）写出这些点C1，C2，…对应的坐标．

问题解决的大致步骤已经知道，只是想问一下，根据A、B两点的坐标特点，直线AB∥x轴，则到直线AB的距离为4的点在平行于直线AB的直线上且距离为4，有两条直线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以AB的中点为圆心，半径5画弧与两直线的交点即为直角三角形的第三个顶点，这样的作法的理论依据是什么。

Answer 1

若AB是直角边，则满足条件的有4个点（1，5），（1，-3），（11，5）（11，-3）
若AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高，由射影定理，得，
4^2=(x-1)(11-x) 若AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高CE，
由△ACE∽△CBE,得，
AE/CE=CE/BE,
即CE^2=AE*BE

解得x1=3,x2=9
所以有（3，5），（9，5）
根据对称性，得另外两点（3，-3）（9，-3）
所以共有8个点符合要求

追问

谢谢你的答案，请你帮我解释一下什么叫射影定理，谢谢

Answer 2

解：（1）8个点．（根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以AB的中点为圆心，半径5画弧与高为4的直线交于C2、C3（以C2、C3为直角），C6、C7同理．A、B为直角略．
（2）对应的坐标：
C1（1，5）、C2（3，5）、C3（9，5）、C4（11，5）、C5（1，-3）、C6（3，-3）、C7（9，-3）、C8（11，-3）
评分掌握原则：图与坐标一致时，每个点（1分），共（8分）；（一般点的位置正确，坐标不会错）

Answer 3

如果AB是直角边，则满足条件的有4个点（1，5），（1，-3），（11，5）（11，-3）
如果AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高，由射影定理，得，
4^2=(x-1)(11-x) 若AB是斜边，设C(x，5)，过C作AB边上的高CE，
由△ACE∽△CBE,得，
AE/CE=CE/BE,
即CE^2=AE*BE

解得x1=3,x2=9
所以有（3，5），（9，5）
根据对称性，得另外两点（3，-3）（9，-3）
所以共有8个点符合要求

Answer 4

不知道额