Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an,n∈正整数,猜想通项公式,用演绎推理法证明

Answer 1

a2=2a1/(2+a1)=2/3
a3=2a2/(2+a2)=2/4
猜想通项公式为 an=2/(n+1)
证明：由于 a(n+1)=2an/(2+an)，取倒数，得
1/a(n+1)=1/an +1/2
1/a(n+1) - 1/an = 1/2
所以 {1/an}是以1/2为公差的等差数列，所以 1/an=1/a1 + (n-1)(1/2)=(n+1)/2
从而 an=2/(n+1)

追问

用演绎推理法 谢谢

追答

上面的证明过程就是演绎推理。
大前提：满足X(n+1) - Xn = d （d是常数）的数列｛xn)是以d为公差的是等差数列；
小前提： 数列{1/an}满足 1/a(n+1) - 1/an = 1/2 ，这里 Xn=1/an
结论： {1/an}是以1/2为公差的等差数列

Answer 2

取倒数得：1/an+1=1/an+1/2
于是：{1/an}是公差为1/2，首项为1的等差数列
所以：1/an=1+1/2(n-1)=1/2(n+1)
an=2/(n+1)

Answer 3

演绎推理是一般到特殊的推理。