Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是5，其导函数y=f(x)的图像经过(1,0)(2,0)，如图所示

(1)a,b,c的值 →a=2，b=-9，c=12
(2)是讨论有关x的方程[f'(x)-6]e^x=m的实数根个数

【第（1）题不用，求第（2）题详解过程】

Answer 1

方程[f'(x)-6]e^x=m的实数根个数，
就是方程f'(x)-6=me^(-x) 的实数根个数，
就是函数g(x)= f'(x)-6与h(x)= me^(-x)图象交点的个数。
f(x)=2x^3-9x^2+12x
g(x)= f'(x)-6=6x^2-18x+6=6(x-3/2)^2-15/2
抛物线y= g(x)开口向上，对称轴x=3/2,顶点（3/2,-15/2）,与x轴交于两点((3+√5)/2,0)和((3-√5)/2,0),与y轴交于点(0,6)。
当m=0时，h(x)=0,显然有两个交点。
当m≠0时，
把指数曲线y=e^(-x)纵向伸长(|m|>1),缩短(|m|<1)到原来的|m|倍，得指数型曲线y=h(x)。y=h(x)恒过点(0,m)，
当m>0时, y=h(x)单减，且y=h(x)>0,指数型曲线逐渐下降，且始终位于x轴上方。与抛物线y= g(x)有两个交点。
当m<0时, y=h(x)单z增，且y=h(x)<0,指数型曲线逐渐上升，且始终位于x轴下方。与抛物线y= g(x)的交点分三种情况。
①-15/2=me^(-3/2), m=-15/2 e^(3/2),
这时，指数型曲线y=h(x)过抛物线顶点，只有一个交点。
②-15/2 e^(3/2)<m<0
这时，指数型曲线y=h(x) 与抛物线y= g(x)有两个交点。
③m< -15/2 e^(3/2)
这时，指数型曲线y=h(x) 与抛物线y= g(x)没有交点。
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