Question

在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

⑴求证：CE=CF
⑵在图1中，若G在AD上,,且角GCE=45度，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
⑶运用（1）（2）解答所积累的经验和知识，完成下列各题。

如图2，在直角梯形ABCD中,,AD‖BC（BC＞AD），∠B=90度，AB=BC=12，E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,,,,求DE的长

Answer 1

第一个首先简单吧，三角形CDE和三角形CDF全等不难吧。
连接EF
第二个成立要用到全等中角ECD和角FCD相等
又因为角GCE=45°得到CFE为RT直角三角形，且CG为角平分线，这样就可以得出三角形CGE和三角形CGF全等，这样EG=GF了
GF=DF+GD，所以GE=BE+GD
延长AD到H.使CH垂直于AH，得到正方形ABCH
由前面结论可得,
DE=DH+BE.S△BCE+S△ECD+S△DCH+S△ADE=S□ABCH=12*12=144
∵S△ECD=S△BCE+S△DCH.
∴S△ADE+2S△ECD=144
设DH=x ,则1/2(12-x)*8+2*1/2*12*(4+x)=144解得x=6.
故DE=4+6=10

Answer 2

解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC．
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF，
∵GF=GD+DF，
∴GE=GD+DF，
∴GE=GD+BE．
（3））过点C作CG⊥AD的延长线于点G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，∠AGC=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形．
∵∠DCE=45°，由（2）的结论，得
DE=DG+BE，设DE=x，则DG=x-3，
∴AD=13-x．
在Rt△AED中
DE2=AD2+AE2，
x2=（13-x）2+72，
解得：x=109/13
∴DE=109/13

Answer 3

1.因为是正方形。所以CD=BC，∠B=∠FDC=90°,DF=BE
所以△BEC全等于△CDF。
所以CE=CF
2.答：成立。证明：因为△BEC全等于△CDF（已证），所以∠BCE=∠DCF。又
∠BCE+∠GCE+∠DCG=∠BCD=90°，所以∠DCF+∠GCE+∠DCG=90°又角GCE=45°
所以∠DCF+∠DCG=90-45=45°，即∠FCG=45°所以∠FCG=∠GCE=45°又CE=CF
CG=CG
所以△GCE全等于△FCG,所以GE=GF.又GF=GD+DF,DF=BE（已知），所以
GF=GD+BE,即GE=BE+GD