Question

一道大学高数题：y''=y'+x 求y各种方法都试了.求各位高手学霸们师哥师姐们解答，不胜感激！

Answer 1

解法一：∵齐次方程y''=y'的特征方程是r²=r，则r1=1，r2=0
∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ax²+Bx
代入原方程得2A=2Ax+B+x
==>2A=B，2A+1=0
==>A=-1/2，B=-1
∴原方程的特解是y=-x²/2-x
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)。
解法二：(常数变易法)
令y'=p，则y''=p'
代入原方程得p'=p+x.......(1)
∵方程(1)的齐次方程是p'=p
==>dp/dx=p
==>dp/p=dx
==>ln│p│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Ce^x
∴根据常数变易法，设方程(1)的解为 p=C(x)e^x (C(x)表示关于x的函数)
∵p'=C'(x)e^x+C(x)e^x
代入方程(1)，得C'(x)e^x+C(x)e^x=C(x)e^x+x
==>C'(x)e^x=x
==>C'(x)=xe^(-x)
==>C(x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e(-x)+C1 (C1是积分常数)
∴方程(1)的通解是p=[-xe^(-x)-e(-x)+C1]e^x=-x-1+C1e^x
==>y'=-x-1+C1e^x
==>y=∫(-x-1+C1e^x)dx=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C2是积分常数)
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)。

Answer 2

y=-x - x^2/2 + e^x C[1] + C[2]
其中e为自然对数底数,C[1]和C[2]为任意常数.

追问

高手！求过程！我也是这么算的，但答案是y=-ln|cosx+c1|+c2 我知道了！答案错了！