Question

设f(x)=x^2,0≤x<1;f(x)=x,1≤x≤2,求I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上的表达式

答案是：在[1,2]上，I(x)=(1/2)x^2-1/6，我不懂的地方是：为什么要减去1/6呢？∫(1到2)f(x)dx，不是就是求出它在这个区间的原函数，然后牛顿莱布尼茨公式上限减下限就行了吗？？？

Answer 1

(1/2)x^2-1/6

解题过程如下：

分段函数f(x)的分段点是x=1，

显然在x-> 1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，

而x=1及x->1+ 时，f(x)的右极限和函数值都等于1，

所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，

因此其积分函数

I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上也是连续的，

当x∈[0,1) 时，

I(x)=∫0到x t^2 dt =(1/3)x^3

当x∈[1,2]时，

I(x)=∫0到x f(t) dt

=∫0到1 t^2 dt + ∫1到x t dt

=1/3 + ∫1到x t dt

=1/3 +(x^2-1)/2

=(1/2)x^2-1/6

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

扩展资料

求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。

例6 求函数f(x)= 的最小正周期。

定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0

当2kπ-π<x<2kπ时,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z

f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,

即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ<x<2kπ+π （k∈z）时，

有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的最小正周期是π。

公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）

x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx <0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .

∴f(x)=|sinx|= =

所以f(x) 的最小正周期T= =π

Answer 2

分段函数f(x)的分段点是x=1，
显然在x-> 1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，
而x=1及x->1+ 时，f(x)的右极限和函数值都等于1，
所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，

因此其积分函数
I(x)=∫0到x f(t)dt在[0,2]上也是连续的，
当x∈[0,1) 时，
I(x)=∫0到x t^2 dt =(1/3)x^3

当x∈[1,2]时，
I(x)=∫0到x f(t) dt
=∫0到1 t^2 dt + ∫1到x t dt
=1/3 + ∫1到x t dt
=1/3 +(x^2-1)/2
=(1/2)x^2-1/6

你是错在直接在[1,2]上用牛顿莱布尼茨公式上限减下限，
答案“在[1,2]上”的意思并不是∫(1到2)f(x)dx，
而是积分函数I(x)=∫0到x f(t) 中的积分上限x在[1,2]上
要注意I(x)=∫0到x f(t)dt 这个定积分是从0积到x的，
所以在[1,2]上 要先从0积到1，再加上1积到x