Question

大一求极限，要求详解

Answer 1

忘了好多。。。。
分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式,适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)

lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x,上下分别求导,分母x的导数是1,e的导数是0,所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²],再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x),再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)],此时不为0/0形式,可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2

Answer 2

先对y=(1+x)^(1/x)求导
lny=ln(1+x)/x
y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*(1+x)^(1/x)
原式　（上下求导）
＝lim(x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*(1+x)^(1/x)
=lim(x→0）[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2*e (通分）
=elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[(1+x)x^2]
=elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0)
=elim(x→0）[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim(x→0）-ln(1+x)/(2x)
=elim(x→0）-x/(2x)
=-e/2

追问

y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2是不是应该：y'/y=x/(1+x)-ln(1+x)/x^2

追答

你不加括号怎么行啊，不加括号是错误的。

追问

=elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[(1+x)x^2]
=elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0)是怎么回事？

追答

这不是一个0/0型的极限吗？运用洛必达法则，上下求导啊。

追问

=elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/[(1+x)x^2]
=（？这个等号看不懂了）elim(x→0）[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0)是怎么回事？

追答

晕，我后面的(0/0)是告诉你，这是一个0/0型极限，要用洛必达法则做。

Answer 3

=0